紧阿贝尔群子集中的线性构型与不变可测超图

我们证明了适用于所有紧阿贝尔群的算术移除结果，推广了 Kr\'al'、Serra 和第三作者的有限移除结果。为此，我们考虑在某些群作用下不变的无限可测超图，并针对这些超图证明了一个保对称性的移除引理，该引理扩展了第二作者提出的同名有限结果。我们通过将此引理应用于特定类型的不变可测超图，推导出了我们的算术移除结果。作为直接应用，我们获得了 Szemer\'edi 定理的以下推广：对于任何紧阿贝尔群 $G$，任何满足 Haar 概率 $\mu(A)\geq\alpha>0$ 的可测集 $A\subset G$，均满足 $$\int_G\int_G\; 1_A\big(x\big)\; 1_A\big(x+r\big) \cdots 1_A\big(x+(k-1)r\big) \; d\mu(x) d\mu(r) \geq c,$$ 其中常数 $c=c(\alpha,k)>0$ 对所有 $G$ 一致有效。结果表明，该结论更普遍地适用于由具有互素 $r\times r$ 子式的整数矩阵给出的任何 $r$ 个线性方程的平移不变系统。