连通非紧非交换群中的小测度扩张现象

设 $G$ 为连通非紧局部紧群，$A,B$ 为 $G$ 的非空紧子集，$\mu$ 为 $G$ 上的左 Haar 测度。假设 $G$ 为单模的，且 $\mu(A^2) < K \mu(A)$，其中 $K>1$ 为固定常数，我们的第一个结果表明存在连续满同态 $\chi: G\to L$，其核为紧，其中 $L$ 为 Lie 群且满足 $$\dim(L) \leq \lfloor\log K\rfloor(\lfloor\log K\rfloor+1)/2.$$ 我们还证明该维数界是尖锐的，建立了 $A$ 与其在商映射下像的关系，并在不假设单模性的情况下得到了关于乘积集 $AB$ 的更一般结果。我们的第二个结果对 $A,B$ 具有近极小扩张的 $G,A,B$ 进行分类（当 $G$ 为单模时，这仅意味着 $\mu(AB)$ 接近 $\mu(A)+\mu(B)$）。这回答了 Griesmer 和 Tao 提出的一个问题，并完成了逆 Kemperman 问题的最后一个开放情形。两个结果的证明都涉及对具有有界 $n-h$ 的局部紧群 $G$ 的新分析，其中 $n-h$ 是出现在最近发展的非交换 Brunn-Minkowski 不等式中的一个 $G$ 的不变量。我们还将 Ruzsa 距离及相关结果推广到可能非单模的局部紧群。