内自同构群的最小性

由 [6]，若极小群 $G$ 满足 $G/Z(G)$ 极小，则称其为 $z$-极小的。本文给出稠密子群的 $z$-极小性判据，并应用于拓扑矩阵群。对局部紧群 $G$，令 $\operatorname{Inn}(G)$ 为 $G$ 的所有内自同构构成的群，赋予 Birkhoff 拓扑。利用 Goto [14] 的定理，我们得到主要结果：若 $G$ 为连通 Lie 群且 $H\in\{G/Z(G), \operatorname{Inn}(G)\}$，则 $H$ 极小当且仅当其中心平凡且与 $\operatorname{Inn}(G/Z(G))$ 拓扑同构。特别地，若 $G$ 为具有离散中心的连通 Lie 群，则 $\operatorname{Inn}(G)$ 极小。我们证明连通局部紧幂零群是 $z$-极小的当且仅当其为紧阿贝尔群。相反，我们证明存在一个连通亚阿贝尔 $z$-极小 Lie 群，其既非紧也非阿贝尔。