半直积的最小性

如果拓扑群不容许严格更粗的 Hausdorff 群拓扑，则称其为最小的。我们给出了半直积 $G\leftthreetimes P$ 最小性的充要条件，其中 $G$ 是紧拓扑群，$P$ 是 $Aut(G)$ 的拓扑子群。我们证明对于 $Aut(G)$ 的每个闭子群 $P$，$G\leftthreetimes P$ 是最小的。在 $G$ 为阿贝尔群的情形，对任意子群 $P \subseteq Aut(G)$ 同样成立。相反，我们展示存在一个紧两步幂零群 $G$ 和 $Aut(G)$ 的一个子群 $P$ 使得 $G\leftthreetimes P$ 不是最小的。这回答了 Dikranjan 的一个问题。我们的某些结果受 Gamarnik 工作的启发。