由集族确定的群拓扑

设 $G$ 为阿贝尔群，$F$ 为 $G$ 的子集构成的下向有向族。I. Protasov 和 E. Zelenyuk 已描述了 $G$ 上使得 $F$ 收敛于 $0$ 的最细拓扑 $\mathcal{T}$。特别地，他们的描述给出了 $\mathcal{T}$ 为豪斯多夫拓扑的一个判据。他们随后证明，若 $F$ 是可数子集 $X\subseteq G$ 的余有限子集滤子，则存在一个更简单的判据：$\mathcal{T}$ 为豪斯多夫拓扑当且仅当对于每个 $g\in G-\{0\}$ 和正整数 $n$，存在 $S\in F$ 使得 $g$ 不在 $n$ 重和 $n(S\cup\{0\}\cup-S)$ 中。本文将其证明推广到更广泛的一类集族 $F$。特别地，若 $X$ 是 $G$ 的任意无限子集，$\kappa$ 是任意满足 $\kappa\leq\mathrm{card}(X)$ 的正则无限基数，且 $F$ 是 $X$ 中基数小于 $\kappa$ 的子集的补集构成的集族，则上述判据成立。我们随后给出一些反例，包括 $\mathbb{Z}$ 的一个可数下向有向子集族 $F$，它不属于上述类型，满足“$g\notin n(S\cup\{0\}\cup-S)$”条件，但并不诱导出豪斯多夫拓扑。最后，我们给出主要结果在非交换群 $G$ 上的一个版本。