赋予 monoid 作用的集合的拓扑化

给定集合 $X$ 及其自映射族 $G$，我们研究在 $X$ 上存在非离散 Hausdorff 拓扑的问题，使得所有函数 $f\in G$ 在该拓扑下均连续。具有此性质的 $X$ 上的拓扑称为 $G$-topology。该问题的答案以 $X$ 上的 Zariski $G$-topology $\zeta_G$ 的形式给出，即由子基生成的拓扑，该子基由集合 $\{x\in X:f(x)\ne g(x)\}$ 和 $\{x\in X:f(x)\ne c\}$ 组成，其中 $f,g\in G$ 且 $c\in X$。我们证明，对于可数 monoid $G\subset X^X$，$X$ 容许非离散 Hausdorff $G$-topology 当且仅当 Zariski $G$-topology $\zeta_G$ 是非离散的；此外，在此情况下，$X$ 容许 $2^{\mathfrak c}$ 个遗传正规 $G$-topology。