关于单位元处具有以 $\omega^\omega$ 索引的基的拓扑群

如果拓扑群 $G$ 在单位元处的邻域系容许一个来自有向集 $\omega^\omega$ 的单调共尾映射，则称其具有局部 $\omega^\omega$-基。特别地，每个可度量化群都是如此，但具有局部 $\omega^\omega$-基的群类要宽泛得多。本文旨在通过给出新的例子与反例来更好地理解该类的边界。超积与非阿基米德有序域导出了具有局部 $\omega^\omega$-基但仍是 Baire 拓扑空间的天然不可度量化群族。更多例子来自诸如 Tychonoff（更一般地，一致）空间 $X$ 的自由拓扑群 $F(X)$ 与自由阿贝尔拓扑群 $A(X)$，以及拓扑群的自由积等构造。我们证明：1) 可数个具有局部 $\omega^\omega$-基的可分拓扑群的自由积容许局部 $\omega^\omega$-基；2) Tychonoff 空间 $X$ 的群 $A(X)$ 容许局部 $\omega^\omega$-基当且仅当 $X$ 的最细一致结构具有 $\omega^\omega$-基；3) 若 $X$ 是可分的且 $X$ 的最细一致结构具有 $\omega^\omega$-基，则 Tychonoff 空间 $X$ 的群 $F(X)$ 容许局部 $\omega^\omega$-基。