局部凸空间中的 $\omega^\omega$-基与无穷维紧集

若局部凸空间 具有零点邻域基 $\{U_{\alpha}:\alpha\in\omega^\omega\}$ 使得对所有 $\alpha\leq\beta$ 均有 $U_{\beta}\subseteq U_{\alpha}$，则称该空间具有 $\omega^{\omega}$-基。具有 $\omega^{\omega}$-基的 lcs 类范围很大，其中包括所有 $(LM)$-空间（因此也包括 $(LF)$-空间）、可析 Fréchet lcs 的强对偶空间（因此也包括分布空间 $D'(\Omega)$）。Cascales-Orihuela 的一个著名结果指出，具有 $\omega^{\omega}$-基的 lcs 中的每个紧集都是可度量化的。我们的主要结果表明，每个具有 $\omega^{\omega}$-基的不可数维 lcs 都包含一个无穷维可度量化紧子集。另一方面，赋予最精细局部凸拓扑的可数维空间 $\varphi$ 具有 $\omega^\omega$-基，但不包含无穷维紧子集。结果表明，$\varphi$ 是唯一一个作为 $k_{\mathbb{R}}$-空间且不包含无穷维紧子集的无穷维局部凸空间。文中给出了对 $C_{p}(X)$ 空间的应用。