关于局部紧可度量化空间的一点可度量化扩张

对于非紧可度量化空间 $X$，令 ${\mathcal E}(X)$ 为 $X$ 的所有一点可度量化扩张的集合；当 $X$ 局部紧时，令 ${\mathcal E}_K(X)$ 表示 ${\mathcal E}(X)$ 中所有局部紧元素的集合，并令 $\lambda: {\mathcal E}(X)\rightarrow{\mathcal Z}(\beta X\backslash X)$ 为 [HJW] M. Henriksen, L. Janos and R.G. Woods, Properties of one-point completions of a non-compact metrizable space, Comment. Math. Univ. Carolinae 46 (2005), 105-123 中定义的序反同构（映到其像）。根据定义，$\lambda(Y)= \bigcap_{n<\omega}cl_{\beta X}(U_n\cap X)\backslash X$，其中 $Y=X\cup\{p\}\in{\mathcal E}(X)$ 且 $\{U_n\}_{n<\omega}$ 是 $Y$ 中 $p$ 处的开基。回答 [HJW] 中的问题，我们将 $\lambda$ 的像中的元素刻画为恰好是那些与 $X$ 不相交的 $\beta X$ 的非空零集，并将 ${\mathcal E}_K(X)$ 在 $\lambda$ 下的像中的元素刻画为那些在 $\beta X\backslash X$ 中既开又闭的集合。然后我们研究 ${\mathcal E}(X)$ 与 ${\mathcal E}_K(X)$ 之间的关系及其序结构，并引入 ${\mathcal E}(X)$ 的一个子集 ${\mathcal E}_S(X)$。最后，我们给出关于集合 ${\mathcal E}(X)$ 和 ${\mathcal E}_K(X)$ 基数的一些定理，并提出一些开放问题。