可数序空间与度量空间中的紧可数子集

我们详细证明了度量空间中的每个紧可数子集都同胚于一个可数序数,这推广了Mazurkiewicz和Sierpinski针对有限维欧氏空间给出的结果。为实现这一目标,我们使用超限归纳法构造一个特定的同胚。此外,我们证明对于所有度量空间$(E,d)$,所有紧可数子集在$E$中模同胚的等价类集合$\mathscr{K}_E$的基数小于或等于$\aleph_1$,即$|\mathscr{K}_E| \le \aleph_1$。我们还证明对于所有小于或等于$\aleph_1$的基数$\kappa$,存在一个度量空间$(E_{\kappa}, d_{\kappa})$使得$|\mathscr{K}_{E_{\kappa}}|= \kappa$。