刚性 $\kappa$-超通用度量空间的一个例子

对于基数 $\kappa > \omega$，如果对于每个满足 $|Y| < \kappa$ 的度量空间 $Y$，从 $Y$ 的子集到 $X$ 的每个部分等距都可以延拓到整个空间 $Y$，则称度量空间 $X$ 为 $\kappa$-超通用的。Hechler [1] 和 Kat\v{e}tov [2] 给出了此类空间的例子。特别是，Kat\v{e}tov 证明了如果 $\omega < \kappa = \kappa^{< \kappa}$，则存在一个 $\kappa$-超通用空间 $K$，它还是 $\kappa$-齐次的，即任何满足 $|Y|<\kappa$ 的子空间 $Y\subseteq K$ 的等距都可以延拓为整个 $K$ 的等距。与此相关，W. Kubi\'s 提出应该也存在一个不是 $\kappa$-齐次的 $\kappa$-超通用空间。本文证明了对于每个基数 $\kappa$，都存在一个刚性的 $\kappa$-超通用空间，即它恰好只有一个等距， namely 恒等映射。该构造涉及一族度量空间的类似 amalgamation 的性质。