幺半群与克隆上的自动连续性、唯一Polish拓扑及Zariski拓扑

本文探讨幺半群$M$的代数结构在多大程度上决定了$M$上与其乘法相容的拓扑。具体而言，我们研究自动连续性的概念、极小Hausdorff或Polish半群拓扑，并给出幺半群上Zariski拓扑的概念。若$M$是一个拓扑幺半群，使得从$M$到任意第二可数拓扑幺半群$N$的同态皆连续，则称$M$具有\emph{自动连续性}。我们证明许多著名幺半群相对于自然的半群拓扑具有自动连续性，即：全变换幺半群$\mathbb{N}^\mathbb{N}$；全二元关系幺半群$B_{\mathbb{N}}$；偏变换幺半群$P_{\mathbb{N}}$；对称逆幺半群$I_{\mathbb{N}}$；由$\mathbb{N}$上单射函数构成的幺半群Inj$(\mathbb{N})$；以及Cantor集上连续函数幺半群$C(2^{\mathbb{N}})$。我们证明$\mathbb{N}^\mathbb{N}$上的点态拓扑及其在$P_{\mathbb{N}}$上的类似拓扑是这些幺半群上唯一的Polish半群拓扑。紧开拓扑是$C(2^\mathbb{N})$与$C([0, 1]^\mathbb{N})$上唯一的Polish半群拓扑。$I_{\mathbb{N}}$上至少有3种Polish半群拓扑，但唯一的Polish逆半群拓扑。在$B_{\mathbb{N}}$及划分幺半群上不存在Polish半群拓扑。另一极端，Inj$(\mathbb{N})$与由$\mathbb{N}$上所有满射函数构成的幺半群Surj$(\mathbb{N})$各自具有无穷多种不同的Polish半群拓扑。我们证明$\mathbb{N}^\mathbb{N}$、$P_{\mathbb{N}}$与Inj$(\mathbb{N})$上的Zariski拓扑与点态拓扑重合，并刻画了$B_{\mathbb{N}}$上的Zariski拓扑。第7节：克隆。