初等嵌入子Monoid的最小与内在拓扑

对于每个 $\omega$-categorical 结构 $M$，都可以关联两个对称性空间，用于确定其在 first-order bi-interpretability 下的结构：其自同构群 $\mathrm{Aut}(M)$ 和其初等嵌入子 monoid $\mathrm{EEmb}(M)$，两者均以点收敛拓扑 $\tau_{\mathrm{pw}}$ 进行修饰。我们研究 $\tau_{\mathrm{pw}}$ 与这些空间上其他拓扑之间的关系：特别是当 $\tau_{\mathrm{pw}}$ 为最小拓扑时，即不存在更粗的 Hausdorff semigroup 拓扑。证明 $\tau_{\mathrm{pw}}$ 在 $\mathrm{EEmb}(M)$ 上最小性的常见方法是显示它与代数定义的 semigroup Zariski 拓扑 $\tau_{\mathrm{Z}}$ 一致。我们展示当 $\mathrm{Aut}(M)$ 拥有非平凡中心时，$\tau_{\mathrm{pw}}$ 在 $\mathrm{EEmb}(M)$ 上与 $\tau_{\mathrm{Z}}$ 不同。随后我们提供关于 $M$ 上代数闭包行为的一般条件，这些条件表明 $\tau_{\mathrm{pw}}$ 的最小性。这些条件涵盖了诸如可数向量空间和有限域上的射影空间等情况。转向 $\mathrm{Aut}(M)$，我们描述了 model-theoretically simple one-based $\omega$-categorical 结构在弱消除想象物（weak elimination of imaginaries）下的自同构群的最小 $T_1$ semigroup 拓扑。我们通过证明度量点收敛拓扑 $\tau_{\mathrm{mpw}}$ 在 $\mathrm{EEmb}(M)$ 上为最小、等于 $\tau_{\mathrm{Z}}$，且严格粗于 $\tau_{\mathrm{pw}}$，适用于实 Urysohn 空间和球。