同胚群上的 Zariski 拓扑

群 G 上的 Zariski 拓扑是使得所有形如 $\{x \in G | 1_G \neq g_0 x^{k_0} g_1 ... g_{l-1} x^{k_{l-1}} g_l\}$ 的集合均为开集的最粗拓扑。它最初由 Bryant 作为词拓扑引入，是研究无限群拓扑结构的基本工具，且始终是具有连续平移和反演的 $T_1$ 拓扑。由于 Zariski 拓扑比 G 上的任何 Hausdorff 群拓扑都粗，它为群的拓扑化提供了自然起点；具体而言，对于可数群或交换群，已知 Zariski 拓扑与 Markov 拓扑（即 G 上所有 Hausdorff 群拓扑的交集）重合。本文分析了各种同胚群上的 Zariski 拓扑。我们证明，对于 Thompson 群 F 和 T，Zariski 拓扑（从而 Markov 拓扑）与它们分别作用于 $[0,1]$ 和 $S^1$ 所导出的标准紧开拓扑重合。相比之下，我们证明 Thompson 群 V 上的 Zariski 拓扑（从而 Markov 拓扑）是不可约的，因此既不是 Hausdorff 拓扑也不是群拓扑。由于 V 在其每个轨道上的作用具有高度传递性，这一结果与 Banakh 等人的定理形成显著对立，后者证明了包含所有有限支撑元素的任何置换群上的 Zariski 拓扑都是 Hausdorff 群拓扑。我们关于 $F,T$ 和 $V$ 上 Zariski 拓扑的结果同样分别适用于全同胚群 $\operatorname{Homeo}([0,1])$、$\operatorname{Homeo}(S^1)$ 和 $\operatorname{Homeo}(2^\omega)$。最后，我们对同胚群 $\mathrm{Homeo}(M)$ 允许 Hausdorff Zariski 拓扑的连通流形 $M$ 进行了分类。