双绝对连续同胚群上的群拓扑

Solecki 证明了闭区间上绝对连续且具有绝对连续逆的同胚群存在一个自然的波兰群拓扑 $\tau_{ac}$。我们证明，在赋予有限 Borel 测度的紧致空间上，若满足温和条件，则可以在同胚群的子群上定义这样的拓扑，该子群由满足 $g$ 和 $g^{-1}$ 保持零测集类的元素 $g$ 组成。我们使用概率论证证明，在配备了 Oxtoby-Ulam 测度的紧致拓扑流形的情况下，以及在赋予某些自然 Borel 测度的 Cantor 空间的情况下，在 $\tau_{ac}$ 与紧致开拓扑的限制 $\tau_{co}$ 之间不存在其他群拓扑。事实上，我们证明任何严格细于 $\tau_{co}$ 的可分群拓扑也必定细于 $\tau_{ac}$。对于一维流形，我们还证明 $\tau_{co}$ 和 $\tau_{ac}$ 是粗于 $\tau_{ac}$ 的仅有的 Hausdorff 群拓扑，并且可以将我们的结果解读为在连续性和绝对连续性之间不存在良好正则性概念的证据。我们还证明，虽然 Solecki 的例子不是 Roelcke 预紧的，但赋予了由具有有理概率测度的测度布尔代数类的 Fr\"aiss\'e 极限所给出测度的 Cantor 空间的双绝对连续同胚群是 Roelcke 预紧的。