关于小拓扑全群的可测类比

我们开启了对小拓扑全群的可测类比的研究，称之为 $\mathrm L^1$ 全群。这些群赋予了一个 Polish 群拓扑，该拓扑容许一个自然完备的右不变度量。我们主要关注保测 $\mathbb Z$-作用的 $\mathrm L^1$ 全群，它们实际上是翻转共轭的完整不变量。我们证明对于遍历作用，导群的闭包在拓扑上是单的，尽管它可能不是单的。我们还表明导群的闭包是连通的，并且对于非顺从群的保测自由作用，导群的闭包与 $\mathrm L^1$ 全群本身都绝不是顺从的。在保测遍历 $\mathbb Z$-作用的情形下，导群的闭包被证明是指标映射的核。如果此种作用还是 Cantor 空间上的同胚，我们证明拓扑全群在 $\mathrm L^1$ 全群中稠密。利用 Juschenko-Monod 和 Matui 关于拓扑全群的结果，我们得出结论：遍历 $\mathbb Z$-作用的 $\mathrm L^1$ 全群作为拓扑群是顺从的，并且它们拓扑有限生成当且仅当该 $\mathbb Z$-作用具有有限熵。