可数结构的自同构群与可测函数群

设 $G$ 为拓扑群，$\mu$ 为区间 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 测度。令 $L_0(G)$ 为定义在 [0,1] 上取值于 $G$ 中的所有 $\mu$-可测函数的 $\mu$-等价类构成的拓扑群，配备逐点乘法与依测度收敛拓扑。我们证明，对于 Polish 群 $G$，若 $L_0(G)$ 具有充足 generics，则 $G$ 具有充足 generics，从而给出了 Ka\"{i}chouh 与 Le Ma\^{i}tre 结果的逆命题。我们进一步研究了许多群 ${\rm{Aut}}(M)$ 与 $L_0({\rm{Aut}}(M))$ 的拓扑相似类和共轭类，其中 $M$ 是可数结构。我们建立了由元组生成的群的结构、Hrushovski 性质及其拓扑相似类结构之间的联系。特别地，我们证明了如下三分律：对于 ${\rm{Aut}}(M)$ 的每个元组 $\bar{f}$，若 $M$ 是有限集的代数闭包仍为有限的可数结构，则要么可数群 $\langle \bar{f} \rangle$ 是预紧的，要么它是离散的，要么 $\bar{f}$ 的相似类是贫集，特别地 $\bar{f}$ 的共轭类是贫集。我们为群 $L_0({\rm{Aut}}(M))$ 证明了类似的三分律。