关于稠密子群的对偶群

在本摘要中,$G$ 是拓扑 Abel 群,$\hat{G}$ 是在紧开拓扑下从 $G$ 到 $T$ 的连续同态空间。稠密子群 $D$ 决定 $G$,如果由 $h\mapsto h|D$ 给出的(必然连续的)满同构 $\hat{G} \twoheadrightarrow \hat{D}$ 是同胚;而 $G$ 被称为被决定的,如果 $G$ 的每个稠密子群都决定 $G$。该领域的principal结果由 L. Aussenhofer 与 M. J. Chasco 独立得到,如下:每个可度量化群都是被决定的。作者给出若干相关结果,包括如下。(1) 存在(许多)非可度量化、非紧、被决定的群。(2) 若稠密子群 $D_i$ 决定紧群 $G_i$,则 $\oplus_i D_i$ 决定 $\Pi_i G_i$。特别地,若每个 $G_i$ 是紧的,则 $\oplus_i G_i$ 决定 $\Pi_i G_i$。(3) 设 $G$ 是局部有界群,令 $G^+$ 表示带其 Bohr 拓扑的 $G$。则 $G$ 是被决定的当且仅当 ${G^+}$ 是被决定的。(4) 令 $non(N)$ 为最小基数 $\kappa$,使得某个 $X \subseteq T$ 具有基数 $\kappa$ 且有正外测度。不存在权 $w(G)\geq non(N)$ 的紧群 $G$ 是被决定的;因此若 $non(N)=\aleph_1$(特别地若 CH 成立),无限紧群 $G$ 是被决定的当且仅当 w(G)=\omega$。问题。在 ZFC 中是否存在基数$\kappa$使得紧群$G$是被决定的当且仅当$w(G)<\kappa$?是否$\kappa=non(N)$?$\kappa=\aleph_1$?