基于少量平移的 Kemperman 不等式与 Freiman 引理

设 $G$ 为配备归一化 Haar 测度 $\mu$ 的连通紧群。我们的首个结果表明，给定 $\alpha, \beta>0$，存在常数 $c = c(\alpha,\beta)>0$，使得对任意满足 $\alpha\mu(B)\geq\mu(A)\geq \mu(B)$ 且 $\mu(A)+\mu(B)\leq 1-\beta$ 的紧集 $A,B\subseteq G$，存在 $b_1,\dots b_c\in B$ 使得 $$\mu(A\cdot \{b_1,\dots,b_c\})\geq \mu(A)+\mu(B).$$ 当 $G=\mathbb{T}^d$ 时的特例证实了 Bollob\'as、Leader 与 Tiba 近期的一个猜想。我们亦在 $\mathbb{R}^d$ 的离散情形下证明了此类结果的一个定量更强版本。具体而言，给定 $d \in \mathbb{N}$，我们证明存在 $c = c(d) >0$，使得对任意不包含于超平面平移中的有限非空集合 $A \subseteq \mathbb{R}^d$，可找到 $a_1, \dots, a_c \in A$ 满足 $$|A+ \{a_1, \dots, a_c\}| \geq (d+1)|A| - O_d(1).$$ 此处主项最优，并在 $O_d(1)$ 误差项范围内恢复了 Freiman 引理所给界。