用形心均值和算术均值表示的 Toader 均值的最优界

在本文中，作者发现了最佳常数 $\alpha_{1}$、$\alpha_{2}$、$\beta_{1}$ 和 $\beta_{2}$，使得双重不等式 $$\alpha_{1}\bar{C}(a,b)+(1-\alpha_{1}) A(a,b)< T(a,b) <\beta_{1} \bar{C}(a,b)+(1-\beta_{1})A(a,b)$$ 和 $$\frac{\alpha_{2}}{A(a,b)}+\frac{1-\alpha_{2}}{\bar{C}(a,b)}<\frac1{T(a,b)} <\frac{\beta_{2}}{A(a,b)}+\frac{1-\beta_{2}}{\bar{C}(a,b)}$$ 对所有满足 $a,b>0$ 且 $a\ne b$ 的数成立，其中 $$\bar{C}(a,b)=\frac{2(a^{2}+ab+b^{2})}{3(a+b)},\quad A(a,b)=\frac{a+b}2,$$ 和 $$T(a,b)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{{\pi}/{2}}\sqrt{a^2{\cos^2{\theta}}+b^2{\sin^2{\theta}}}\,\td\theta$$ 分别是两个正数 $a$ 和 $b$ 的形心均值、算术均值和 Toader 均值。作为上述不等式的一个应用，作者还发现了第二类完全椭圆积分的一些新界。