对数均值与算术 - 几何均值的锐利双参数界

对于固定的 $s\geq 1$ 和 $t_{1},t_{2}\in(0,1/2)$，我们证明了不等式 $G^{s}(t_{1}a+(1-t_{1})b,t_{1}b+(1-t_{1})a)A^{1-s}(a,b)>AG(a,b)$ 和 $G^{s}(t_{2}a+(1-t_{2})b,t_{2}b+(1-t_{2})a)A^{1-s}(a,b)>L(a,b)$ 对所有 $a,b>0$ 且 $a\neq b$ 成立，当且仅当 $t_{1}\geq 1/2-\sqrt{2s}/(4s)$ 且 $t_{2}\geq 1/2-\sqrt{6s}/(6s)$。此处 $G(a,b)$、$L(a,b)$、$AG(a,b)$ 和 $A(a,b)$ 分别是 $a$ 和 $b$ 的几何均值、对数均值、算术 - 几何均值和算术均值。