涉及两变量不同平均的两个奇特不等式

对两个正实数 $x$ 与 $y$，令 $H$、$G$、$A$ 与 $Q$ 分别为 $x$ 与 $y$ 的调和平均、几何平均、算术平均与平方平均。在本注记中，我们证明 \begin{equation*} A\cdot G\ge Q\cdot H, \end{equation*} 且对每个整数 $n$ \begin{equation*} A^n+G^n\le Q^n+H^n.\end{equation*} 我们还讨论并将上述第一个与第二个不等式在 $n=1$ 时与一些涉及所提及经典平均、两正实数 $x$ 与 $y$ 的 Seiffert 平均 $P$、对数平均 $L$ 与指数平均 $I$ 的已知不等式进行比较。