关于调和平均与几何平均的一些 Bernstein 函数及积分表示

众所周知，对于两个正数 $x$ 和 $y$，其调和平均为 $H(x,y)=\frac2{\frac1x+\frac1y}$，几何平均为 $G(x,y)=\sqrt{xy}\,$。本文通过多种方法证明了调和平均 $H_{x,y}(t)=H(x+t,y+t)$ 和几何平均 $G_{x,y}(t)=G(x+t,y+t)$ 均为 $t\in(-\min\{x,y\},\infty)$ 上的 Bernstein 函数，并建立了 $H_{x,y}(t)$ 和 $G_{x,y}(t)$ 的积分表示。