由谱几何均值产生的多变量均值方程

在 1980 年代，Kubo 和 Ando 引入了 operator means on $\mathbb{P}$，即正定算子构成的开凸锥。一个显著例子是加权几何均值 $$A \sharp_{t} B = A^{1/2} (A^{-1/2} B A^{-1/2})^{t} A^{1/2}, \qquad A,B \in \mathbb{P}.$$ Karcher mean 是该均值的自然多变量扩展，通过最小化正定矩阵的黎曼 trace 距离之和来实现。它 coincide a unique positive definite solution to the Karcher equation，这使我们能够在 $\mathbb{P}$ 上定义 Karcher mean。加权谱几何均值被定义为两个正定算子的另一种几何均值，如下所示：$$A \natural_t B = (A^{-1} \sharp B)^{t} A (A^{-1} \sharp B)^{t},$$其中 $A \sharp B = A \sharp_{1/2} B$。在本文中，我们首次尝试通过非线性方程来 formulate 多变量谱几何均值。在两种变量的情况下，该方程的唯一正定解正是谱几何均值。然而，在多变量情况下，该方程可能不具有唯一解。我们研究了其解的性质并将其与其他正定矩阵的最小二乘均值进行了比较。最近，一种新的正定算子备选均值理论被发展出来，包括谱几何均值和 Wasserstein mean。我们也考虑来自这些备选均值的多变量方程。