对称正定矩阵的近似联合对角化与几何平均
微分几何
2015-05-28 v1 机器学习
摘要
我们探索信号处理及相关领域中独立出现的两个问题的联系：对称正定(SPD)矩阵集的几何平均的估计及其近似联合对角化(AJD)。如今，在赋予Fisher信息度量的SPD矩阵流形上估计SPD矩阵集的几何平均引起了相当大的兴趣。所得平均具有若干重要的不变性，并已在生物医学和图像数据处理等多种工程应用中证明非常有用。对于两个SPD矩阵，其平均有代数闭式解，而对于多于两个的SPD矩阵集，只能由迭代算法估计。然而，现有迭代算法无一同时具备快速收敛、每次迭代低计算复杂度和收敛保证。为此，近来考虑了基于对称散度度量（如Bhattacharyya散度）的几何平均的其他定义。所得平均虽在实践中可能有用，但不满足所有期望的不变性。本文考虑在高维时间序列上估计的协方差矩阵的几何平均，假设数据根据瞬时混合模型生成，这在信号处理中很常见。我们表明，在这种情况下，可通过高效的AJD算法逼近Fisher信息几何平均。与同类方法相比，我们的近似通常更接近Fisher信息几何平均，并验证了许多不变性。此外，保证收敛，计算复杂度低，且收敛速率为二次。通过仿真证明了这种新几何平均近似的准确性。
引用
@article{arxiv.1505.07343,
title = {Approximate Joint Diagonalization and Geometric Mean of Symmetric Positive Definite Matrices},
author = {Marco Congedo and Bijan Afsari and Alexandre Barachant and Maher Moakher},
journal= {arXiv preprint arXiv:1505.07343},
year = {2015}
}