几何中位数及其在鲁棒均值估计中的应用

本文致力于研究几何中位数的统计与数值性质，及其通过均值中位数原理在鲁棒均值估计问题中的应用。我们的主要理论结果包括：（a）对 R^d 中一般绝对连续分布，均值与中位数之间距离的上界，以及若干特定分布类的例子，其界不依赖于环境维数 d；（b）几何中位数的样本版本与总体版本之间距离的指数偏差不等式，其同样仅依赖于迹型量而不依赖于环境维数。作为推论，我们推导出对大类重尾分布成立的（几何）均值中位数估计量的改进界。最后，我们讨论数值逼近的误差，这是任何统计估计方法的重要实际方面。我们证明几何中位数所最小化的目标函数满足“局部二次增长”条件，使得可将目标函数的次优性界转化为中位数本身数值逼近的相应界，并提出了适用于任意优化方法的简单停止准则，给出显式误差保证。我们以数值实验作结，包括应用于 S&P 500 数据对数收益率均值的估计。