均值估计中的最优性：超越最坏情况、超越次高斯、以及超越 $1+\alpha$ 矩

在改进我们对均值估计等基本统计问题的算法理解方面，兴趣日益增长，其驱动力在于理解我们能从宝贵数据中提取的极限。$\mathbb{R}$ 中均值估计的最先进结果是 1) [LV22] 的最优次高斯均值估计器，对所有具有有限但未知方差的分布具有紧的次高斯常数；以及 2) [BCL13] 的中位数-of-均值算法分析和 [DLLO16] 的下界，刻画了仅存在 $1+\alpha$ 矩（$\alpha \in (0,1)$）的分布的大 O 最优误差。然而，这两个结果都仅在最坏情况下最优。我们开启了均值估计问题的细粒度研究：算法能否利用输入分布的有用特征来击败次高斯速率，而无需显式知晓这些特征？我们以出乎意料的细致答案解决了这一问题：“在有限 regime 下可以，但一般而言不行”。对于任意具有有限均值的分布 $p$，我们构造一个分布 $q$，其均值与 $p$ 的均值良好分离，但 $p$ 和 $q$ 以高概率不可区分，且 $q$ 进一步在常数倍内保持 $p$ 的矩。主要后果是，对于任何分布，没有合理的估计器能在渐近上取得优于次高斯误差速率的表现，与 [LV22] 的最坏情况结果一致。更一般地，我们引入一个新的定义框架来分析算法的细粒度最优性，称之为“邻域最优性”，其插在不可达的强“实例最优性”与平凡弱的“可容许性”定义之间。应用新框架，我们展示了中位数-of-均值在常数因子内是邻域最优的。寻找无常数因子松弛的邻域最优估计器仍是开放问题。