$q-$gamma 与 $q-$digamma 函数的调和平均不等式

我们证明了若干结果，其中包括：对任意 $x > 0$ 与 $q\in J$（其中 $J$ 是 $[0,+\infty)$ 的子集），$\Gamma_q(x)$ 与 $\Gamma_q(1/x)$ 的调和平均大于等于 $1$。此外，我们证明存在 $p_0\in(1,9/2)$，使得对 $q\in(0,p_0)$，$\psi_q(1)$ 是 $x > 0$ 时 $\psi_q(x)$ 与 $\psi_q(1/x)$ 调和平均的最小值；而对 $q\in(p_0,+\infty)$，$\psi_q(1)$ 为其最大值。我们的结果推广了 Alzer 与 Gautschi 的某些已知不等式。