基于二次平均与反调和平均的高斯算术-几何型平均的最优界

本文给出最佳参数α_i, β_i (i=1,2,3) 与 α_4,β_4∈(1/2,1)，使得双不等式 \begin{align*} \alpha_1Q(a,b)+(1-\alpha_1)C(a,b)&<AG_{Q,C}(a,b)<\beta_1Q(a,b)+(1-\beta_1)C(a,b),\\ \qquad\ Q^{\alpha_2}(a,b)C^{1-\alpha_2}(a,b)&<AG_{Q,C}(a,b)<Q^{\beta_2}(a,b)C^{1-\beta_2}(a,b),\\ \frac{Q(a,b)C(a,b)}{\alpha_3Q(a,b)+(1-\alpha_3)C(a,b)}&<AG_{Q,C}(a,b)<\frac{Q(a,b)C(a,b)}{\beta_3Q(a,b)+(1-\beta_3)C(a,b)},\\ C\left(\sqrt{\alpha_4a^2+(1-\alpha_4)b^2},\sqrt{(1-\alpha_4)a^2+\alpha_4b^2}\right)&<AG_{Q,C}(a,b)<C\left(\sqrt{\beta_4a^2+(1-\beta_4)b^2},\sqrt{(1-\beta_4)a^2+\beta_4b^2}\right) \end{align*} 对所有 a, b>0 且 a≠b 成立，其中 Q(a,b)、C(a,b) 与 AG(a,b) 分别为二次、反调和与算术-几何平均，且 AG_{Q,C}(a,b)=AG[Q(a,b),C(a,b)]。作为推论，我们给出第一类完全椭圆积分的新界。关键词：算术-几何平均，完全椭圆积分，二次平均，反调和平均