将高斯算术-几何平均数(AGM)推广至三变量迭代方案

高斯算术-几何平均数(AGM)通过两变量迭代 $(a_n, b_n)\rightarrow (a_{n+1}, b_{n+1})$ 描述，其中 $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2,\ b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$。我们将其推广至三变量迭代 $(a_n, b_n, c_n)\rightarrow (a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1})$，当 $c_0=0$ 时可还原为高斯的 AGM。该迭代从 $a_0>b_0>c_0>0$ 且进一步限制 $a_0>b_0+c_0$ 开始，收敛到 $a_\infty=b_\infty=M(a_0, b_0, c_0)$ 且 $c_\infty=0$。极限 $M(a_0, b_0, c_0)$ 由两变量 $(\kappa, \lambda)$ 的阿佩尔超几何函数 $F_1(1/2, \{1/2, 1/2\}, 1; \kappa, \lambda)$ 表达式，$(\kappa, \lambda)$ 由 $(a_0, b_0, c_0)$ 决定。作为副产品，我们发现了两种超几何函数(高斯的和阿佩尔的)之间的关系。