带大参数 Gauss 超几何函数的渐近展开 III：在具有大虚数阶和实数阶的 Legendre 函数中的应用

通过应用最速下降法，我们获得了 Gauss 超几何函数 $$F(a-\lambda,b+\lambda;c+i\alpha\lambda;z)$$ 在 $\lambda\rightarrow+\infty$ 且 $a$、$b$ 和 $c$ 为有限参数时的渐近展开。量 $\alpha$ 为实数，因此分母参数为复数，而 $z$ 是限制在扇形区域 $|\arg (1-z)|<\pi$ 内的有限复变量。我们集中于 $a=0$、$b=c=1$ 的特例，该特例与具有实数阶和虚数阶的 Legendre 函数相关。所得展开为 Poincaré 类型，并在 $z$ 平面的受限区域内成立。给出了两个鞍点重合时的展开。给出了说明不同展开精度的数值结果。