关于含有 coalescing 转折点的常微分方程解的渐近展开及其对Legendre函数的应用

研究形如 $d^{2}w/dz^{2}=\{u^{2}f(a,z)+g(z)\}w$ 的二阶常微分方程，其中 $u$ 为实参数，$z$ 取自有界或无界复数域 $Z$，且 $a_{0} \le a \le a_{1} < \infty$。函数 $f(a,z)$ 和 $g(z)$ 在 $Z$ 的内部解析，且 $f(a,z)$ 在 $a > a_{0}$ 时恰好在 $Z$ 中具有两个实简单零点，这些零点随 $a$ 连续变化，最终在 $a \to a_{0}$ 时退化为二重零点。本文给出解的统一渐近展开式，采用抛物柱面函数及其导数，以及慢变系数函数。系数易于计算，同时给出明确的误差界。最后将结果应用于推导当度 $\nu$ 与阶 $\mu$ 同时较大时，关联Legendre函数的新的渐近展开式。