指数形式的 Liouville-Green 展开及其在修正 Bessel 函数中的应用

研究了形如 $d^{2}w/dz^{2}-\left \{ {u^{2}f\left( u,z\right) +g\left( z\right) }\right\} w=0$ 的线性二阶微分方程，其中 $\left| u\right| \rightarrow \infty$ 且 $z$ 位于复有界或无界域 $\mathbf{D}$ 中。如果 $f\left( u,z\right)$ 和 $g\left( z\right)$ 在 $\mathbf{D}$ 中亚纯，且 $f\left(u,z\right)$ 无零点，则经典的 Liouville-Green/WKBJ 近似提供了涉及指数函数的渐近展开。这些展开中的系数要么乘以指数，要么以另一种形式出现在指数中。后一种情况可应用于简化转折点展开以及某些量子力学问题，并推导出了新的可计算误差界。展示了如何锐化这些界限以提供现实的误差估计，并通过在具有复宗量和大的正阶数的修正 Bessel 函数上的应用进行了说明。还为形如 $d^{2}w/dz^{2}-\left\{ {u^{2}f\left(z\right) +g\left( z\right) }\right\} w=p\left( z\right)$ 的非齐次方程的特解的渐近展开推导了显式可计算误差界。