Legendre 函数及相关函数的大参数渐近展开

令人惊讶的是，除某些特例外，文献中并无关联 Legendre 函数 $P_\nu ^\mu (z)$ 和 $Q_\nu ^\mu (z)$ 关于大次数 $\nu$ 或大阶 $\mu$ 的简单渐近展开。本文的主要目的是通过推导这些函数的简单（反）阶乘展开来填补这一空白，并给出其误差项的尖锐且符合实际的界。我们也包含了 Ferrers 函数及密切相关的 Gegenbauer 函数的类似结果。在 $\nu$ 为整数或 $2\mu$ 为奇数的情形中，这些新展开有许多会终止并给出用简单函数表示的有限表达式。这些表示大多看似是新的。众所周知，超几何级数可视为超几何函数 $F(a,b;c;z)$ 的大-$c$ 渐近展开。我们还推导了该展开余项的可计算界。据我们所知，此前文献中未给出过此类估计。