Laguerre 型正交多项式渐近展开的构造与实现

Laguerre 多项式与 Laguerre 型多项式是区间 $[0,\infty)$ 上关于权函数 $w(x) = x^{\alpha} e^{-Q(x)}, Q(x) = \sum_{k=0}^m q_k x^k, \alpha > -1, q_m > 0$ 的正交多项式。经典 Laguerre 多项式对应于 $Q(x)=x$。对于大次数情形，这些多项式渐近展开高阶项的计算变得相当复杂，且文献中似乎缺乏完整的描述。然而，这些信息隐含在 Vanlessen 的工作中，该工作基于对相关 Riemann--Hilbert 问题的非线性最速下降分析。我们将扩展这项工作，并展示如何高效地计算 Laguerre 多项式与 Laguerre 型多项式渐近展开中任意数量的高阶项。这项工作类似于之前一篇论文中关于 Jacobi 多项式与 Jacobi 型多项式的情形。我们提供了在复平面四个不同区域中具有显式展开的实现。这些展开还可以推广到 $(-\infty,\infty)$ 上形如 $\exp(-\sum_{k=0}^m q_k x^{2k})$ 的 Hermite 型权函数，以及利用围道积分推广到一般的非多项式函数 $Q(x)$。这些展开可用于例如以低于基于递推关系的计算复杂度来计算 Gauss-Laguerre 求积公式，并在大次数时提高精度。它们在随机矩阵理论中也具有研究价值。