基于二次变换的矩阵型 Hermite 与 Laguerre 多项式

我们提出了经典 Hermite-Laguerre 二次对应关系在矩阵型.setting 中的第一个系统性扩展。从具有 $W(x) = W(-x)$ 特性的 Hermite 型权重矩阵 $W(x) = \exp(-x^2) Z(x)$ 开始，通过变量变换 $y = x^2$ 可产生两个参数 $\alpha = -1/2$ 和 $\alpha = 1/2$ 的 Laguerre 型权重，并通过显式分解为偶数与奇数子序列，将对应的矩阵型正交多项式序列联系起来。我们证明该变换保持微分算子和 Darboux 变换，从而在 Hermite 侧与 Laguerre 侧之间建立直接的结构联系，为矩阵 Bochner 问题提供了新的构造工具。具体的家族——包括一个新的 $3\times 3$ 例子以及由块零化矩阵构建的任意大小的家族——说明了该理论并提供了具有非平凡微分代数结构的矩阵型正交多项式的新来源。