一个 $3\times 3$ 奇异解：矩阵博赫ner问题中的 $\mathcal{D}(W)$ 非形式为 $\mathbb{C}[D]$

矩阵博赫ner问题旨在分类其正交多项式序列是二阶微分算子的本征函数的权矩阵。该方向取得重大突破性进展[7]，其中展示了在权代数 $\mathcal{D}(W)$ 具备某些自然条件时，所有解都来源于经典标量权的直接和的达布克斯变换。在本文中，我们研究了一个新的 $3 \times 3$ 赫姆霍茨型权矩阵，确定其代数 $\mathcal{D}(W)$ 作为由 $\{I, D_2\}$ 生成的 $\mathbb{C}[D_1]$-模，其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 为二阶微分算子。这种对代数的完全描述使我们能够证明该权矩阵并非来源于经典标量权的达布克斯变换，从而表明其超出了[7]的分类定理的范围。与[3,4]中的先前实例不同，本文中该权矩阵的代数 $\mathcal{D}(W)$ 不是由单个微分算子 $D$ 生成的，这构成了一种根本不同的情况。这些结果补充了矩阵博赫ner问题的分类定理，通过提供一种新的奇异实例来丰富了该分类定理。