Gegenbauer 权重矩阵的微分算子代数

本文详细研究了与 Gegenbauer 型矩阵权相关的微分算子代数 $\mathcal D(W)$ 的代数性质。我们证明两个二阶算子生成该代数，事实上 $\mathcal D(W)$ 同构于由满足特定关系的两个元素生成的自由代数。此外，其中心同构于一条奇异有理曲线的仿射代数。代数 $\mathcal D(W)$ 是其中心上的有限生成无挠模，但它不是平坦的，因此也不是投射的。这是对代数 $\mathcal D(W)$ 的第二次详细研究，也是首个源自球函数与群表示的研究。我们证明了不同 Gegenbauer 权重对应的代数以及先前研究的与 Hermite 权重相关的代数彼此同构。我们给出了若干一般性结果，使得我们可以将代数 $\mathcal D(W)$ 视为 Weyl 代数中其中心的中心化子。我们确信这应对任意不可约权成立，而本文所考虑的情形是朝此方向良好的一步。