DG自由代数的同构问题及其同调性质

微分分次（简称DG）自由代数 $\mathcal{A}$ 是一个连通上链DG代数，其底分次代数为 $$\mathcal{A}^{\#}=\k\langle x_1,x_2,\cdots, x_n\rangle,\,\, \text{with}\,\, |x_i|=1,\,\, \forall i\in \{1,2,\cdots, n\}.$$ 我们证明了DG自由代数上的微分结构与交叉有序的 $n$ 个 $n\times n$ 矩阵组成的 $n$ 元组集合之间一一对应。我们还给出了判断两个DG自由代数是否同构的判据。作为应用，我们考虑 $n=2$ 的情形。基于同构分类，我们计算了具有 $2$ 个生成元的非平凡DG自由代数的上同调分次代数，并证明了所有这些非平凡DG自由代数都是Koszul和Calabi-Yau的。