DG 多项式代数及其同调性质

本文引入并研究微分分次（简称 DG）多项式代数。简言之，DG 多项式代数 $\mathcal{A}$ 是一个连通上链 DG 代数，其底层分次代数 $\mathcal{A}^{\#}$ 是多项式代数 $\mathbb{k}[x_1,x_2,\cdots, x_n]$，且对任意 $i\in \{1,2,\cdots, n\}$ 有 $|x_i|=1$。我们描述了 DG 多项式代数上所有可能的微分结构；计算了它们的 DG 自同构群；研究了它们的同构问题；并证明它们均为同调光滑且 Gorestein 的 DG 代数。进一步，证明了当微分 $\partial_{\mathcal{A}}\neq 0$ 时 DG 多项式代数 $\mathcal{A}$ 是 Calabi-Yau DG 代数，而平凡 DG 多项式代数 $(\mathcal{A}, 0)$ 是 Calabi-Yau 的当且仅当 $n$ 为奇数。