常用分次代数及其同调性质

本文研究下有界局部有限 $\mathbb{Z}$-分次代数，文献中常称之为常用分次代数。常用分次代数具有与连通分次代数几乎相似的理论，但有时其结果需要不同的证明方法。我们给出了常用分次 AS-Gorenstein 代数的若干刻画，并证明任何诺特常用分次 AS-Gorenstein 代数均具有平衡对偶复形。随后，我们研究了常用分次代数的（斜）Calabi-Yau 性质，并给出一个分次代数的例子，该代数在非分次意义下是斜 Calabi-Yau 的，但在分次意义下则不是。我们证明了一个诺特常用分次代数是 AS-正则的，当且仅当其有限维分次模的有界导出范畴构成一个“扭曲”Calabi-Yau 范畴。在文章末尾，我们证明了在适当条件下，Auslander-Buchsbaum 公式、Bass 定理以及无洞定理对常用分次代数均成立。