群分级扭转Calabi-Yau代数

历史上，关于 graded（扭转或其他形式）Calabi-Yau代数的研究，主要指在 $\mathbb{N}$ grading 下进行的研究。本文提出了适用于任意阿贝尔群 $G$ 的 $G$ 分级扭转Calabi-Yau代数的合适定义。基于 Reyes 和 Rogalski 的工作，我们证明了 $G$ 分级代数在满足扭转Calabi-Yau条件时，等价于 $G$ 分级扭转Calabi-Yau代数。论文后半部分证明了在既是左又是右分母集的元素上的局部化操作后，扭转Calabi-Yau代数仍保持扭转Calabi-Yau性质。因此，我们获得了一大类由 Artin-Schelter 正则代数的局部化得到的 $\mathbb{Z}$ 分级扭转Calabi-Yau代数。全文中，我们概述了若干具体的 $G$ 分级扭转Calabi-Yau代数的例子，包括 Weyl 代数、广义 Weyl 代数的族以及有限维 Lie 代数的普适包围代数。