Artinian代数与微分形式

本文关注特征为零的域 $k$ 上的交换代数中作为向量空间有限维者，尤其是其中的分次代数。此处“分次”用于指非负分次代数 $A$，且 $A_0$ 既约且有限维。因此平凡分次 $A=A_0$ 仅当 $A$ 是 $k$ 的有限域扩张之积时才被允许。曾有猜想（G. Cortiñas, S. Geller, C. Weibel; The Artinian Berger Conjecture. Math. Zeitschrift {\bf 228} 3 (1998) 569-588）：对所有非主理想代数的有限维代数 $A$（即至少含一个非主理想），Kähler微分的如下子模非零：$$\bigcap{\ker(\Omega_A @>>>\Omega_B)}$$ 此处交取遍所有主理想代数 $B$ 与所有同态 $A @>>>B$。本文中我们证明该猜想对Gorenstein分次代数与标准分次代数均成立。