带对合的分次超矩阵代数的 K 理论分类

我们考虑带对合的分次环 $R$ 的标准 Grothendieck 群 $K_0(R)$ 的推广 $K_0^{\operatorname{gr}}(R)$。若 $\Gamma$ 是阿贝尔群，我们证明 $K_0^{\operatorname{gr}}$ 完全分类了 $\Gamma$-分次 $*$-域 $A$ 上的分次超矩阵 $*$-代数，满足 (1) $A$ 的每个非平凡分次分量含有一个酉元素（此时我们称 $A$ 有足够酉元），且 (2) 零分量 $A_0$ 是 2-proper (对任意 $a,b\in A_0,$ $aa^*+bb^*=0$ 蕴含 $a=b=0$) 且 $*$-pythagorean (对任意 $a,b\in A_0,$ $aa^*+bb^*=cc^*$ 对某个 $c\in A_0$)。如果不考虑对合结构，我们的结果意味着 $K_0^{\operatorname{gr}}$ 完全分类了任意分次域 $A$ 上的分次超矩阵代数。如果分次平凡且不考虑对合结构，我们得到一些著名结果作为推论。若 $R$ 和 $S$ 是足够酉元的 $\Gamma$-分次 $*$-域 $A$ 上的分次矩阵 $*$-代数，且 $f: K_0^{\operatorname{gr}}(R)\to K_0^{\operatorname{gr}}(S)$ 是一个压缩的 $\mathbb Z[\Gamma]$-模同态，我们给出分次 $*$-同态 $\phi: R\to S$ 满足 $K_0^{\operatorname{gr}}(\phi) = f$ 的具体公式。如果分次平凡且不考虑对合结构，我们的构造性证明蕴含了带有存在性证明的已知结果。作为我们结果的应用，我们证明了一类 Leavitt 路代数的分次版本同构猜想成立：若 $E$ 和 $F$ 是可数、行有限、无出口图，其中每条路径终结于汇点或圈，且 $K$ 是 2-proper 且 $*$-pythagorean 域，则 Leavitt 路代数 $L_K(E)$ 和 $L_K(F)$ 作为分次环同构当且仅当它们作为分次 $*$-代数同构。