通过 $K$ 理论中的grading $C^*$-代数同构的提升

我们证明了每个强 $\mathbb{Z}$-graded $C^*$-代数（等价于每个在全谱子空间上具有强连续 $\mathbb{T}$-作用的 $C^*$-代数）都是 Cuntz--Pimsner 代数，并描述了可作为构造中的系数代数和模的子代数和子空间。我们推导出：对于 $C^*$-代数 $A$ 的齐次同态 $\phi$（$A$ 由 torsion-free 阿贝尔群 $H$ 给出grading），如果 $\phi$ 对 $A_0$（$A$ 的零grade 成分）的限制在 $K$ 理论中诱导同构，那么 $\phi$ 本身也会在 $K$ 理论中诱导同构。当 $H$ 为自由阿贝尔群时，我们展示了如何从 $A_0$ 中挑选出较小的子代数，以便仅需检查 $\phi$ 在 $K$ 理论中是否诱导同构。