提升 KK 元、渐近酉等价与单 C*-代数的分类

设 $A$ 和 $C$ 为两个具有零迹秩的单位单 C*-代数。假设 $C$ 是均值的且满足通用系数定理。记 ${{KK}}_e(C,A)^{++}$ 为满足 $\kappa(K_0(C)_+\setminus\{0\})\subset K_0(A)_+\setminus\{0\}$ 且 $\kappa([1_C])=[1_A]$ 的 $\kappa$ 的集合。假设 $\kappa\in {KK}_e(C,A)^{++}$。我们证明存在一个单位单射 $\phi: C\to A$ 使得 $[\phi]=\kappa$。假设 $C$ 是单位 AH-代数，且 $\lambda: \mathrm{T}(A)\to \mathrm{T}_{\mathtt{f}}(C)$ 是一个连续仿射映射，使得对于 $C$ 的所有矩阵代数中的所有投影 $p$ 和任意 $\tau\in \mathrm{T}(A)$，都有 $\tau(\kappa([p]))=\lambda(\tau)(p)$，其中 $\mathrm{T}(A)$ 是 $A$ 的迹态单纯形，$\mathrm{T}_{\mathtt{f}}(C)$ 是 $C$ 的忠实迹态凸集。我们证明存在一个单位单射 $\phi: C\to A$ 使得 $\phi$ 同时诱导 $\kappa$ 和 $\lambda$。假设 $h: C\to A$ 是一个单位单射且 $\gamma \in \mathrm{Hom}(\Kone(C), \aff(A))$。我们证明存在一个单位单射 $\phi: C\to A$ 使得在 ${KK}(C,A)$ 中 $[\phi]=[h]$，对所有迹态 $\tau$ 有 $\tau\circ \phi=\tau\circ h$，且相关的旋转映射可由 $\gamma$ 给出。文中还给出了在单 C*-代数分类中的应用。