$C^*$-代数中的渐近酉等价

设$C=C(X)$为有限CW复形$X$上所有连续函数构成的含幺$C^*$-代数，$A$为迹秩至多为1的含幺单$C^*$-代数。我们证明两个含幺单同态$\phi, \psi: C\to A$渐近酉等价，即存在连续酉路径$\{u_t: t\in [0,1)\}\subset A$使得$$\lim_{t\to 1} u_t^*\phi(f)u_t=\psi(f) \quad \text{对所有 } f\in C(X)$$成立，当且仅当\beq [\phi]&=&[\psi] \text{ 在 } KK(C, A)中, \ \tau\circ \phi&=&\tau\circ \psi \text{ 对所有 } \tau\in T(A), \ \phi^{\dag}&=&\psi^{\dag}, \eneq 其中$T(A)$是$A$的迹态单形，$\phi^{\dag}, \psi^{\dag}: U(M_{\infty}(C))/DU(M_{\infty}(C))\to U(M_{\infty}(A))/DU(M_{\infty}(A))$为诱导同态，$U(M_{\infty}(A))$和$U(M_{\infty}(C))$分别为所有整数$k\ge 1$上$M_k(A)$和$M_k(C)$的酉群之并的群，$DU(M_{\infty}(A))$和$DU(M_{\infty}(C))$分别为$U(M_{\infty}(A))$和$U(M_{\infty}(C))$的换位子子群。我们实际上对$C$为任意一般含幺AH-代数的情况证明了更一般的结果。