$C(X)$ 到单 $C^*$-代数同态的近似同伦

设 $X$ 为一个有限 CW 复形，并设 $h_1, h_2: C(X)\to A$ 为两个单位 \hm（同态），其中 $A$ 是一个单位 C*-代数。我们研究 $h_1$ 与 $h_2$ 何时为近似同伦的问题。在 $A$ 为迹秩零的单位可分单 C*-代数，或 $A$ 为单位纯无限单 C*-代数的假设下，我们给出了它们近似同伦的一个 K-理论的充要条件。当它们近似同伦时，我们也给出了同伦长度的界。设 $h: C(X)\to A$ 为一个单同态，且 $u\in A$ 为一个酉元（在 $K_1(A)$ 中 $[u]=\{0\}$）。我们证明，对任意 $\ep>0$ 及任意紧子集 ${\cal F}\subset C(X)$，存在 $\dt>0$ 及有限子集 ${\cal G}\subset C(X)$ 满足如下：若 $\|[h(f), u]\|<\dt$ 且 $\text{Bott}(h,u)=\{0\}$，则存在连续可求长路径 $\{u_t: t\in [0,1]\}$ 使得 $$\|[h(g),u_t]\|<\ep, \rforal g\in {\cal F},u_0=u\andeqn u_1=1_A.$$ 而且，$$\text{Length}(\{u_t\})\le 2\pi+\ep.$$ 我们说明若 $\text{dim}X\le 1$，或 $A$ 为纯无限单的，则 $\dt$ 与 ${\cal G}$ 是通用的（不依赖于 $A$ 或 $h$）。在 ${\rm dim} X=1$ 的情形，这改进了 Bratteli、Elliott、Evans 和 Kishimoto 所谓的 Basic Homotopy Lemma（基本同伦引理）在上述 $A$ 情形下的结果。此外，我们说明当 $\text{dim} X\ge 2$ 时 $\dt$ 与 ${\cal G}$ 不可能通用。尽管如此，我们也发现 $\dt$ 可被选取为依赖于一个测度分布而独立于 $A$ 与 $h$。