量子广义Kac-Moody代数的范畴化与晶体基

我们构造并研究了Khovanov-Lauda-Rouquier代数 $R$ 及其分圆商 $R^\lambda$ 的结构，这些代数给出了量子广义Kac-Moody代数的范畴化。设 $U_\A(\g)$ 为与Borcherds-Cartan矩阵 $A=(a_{ij})_{i,j \in I}$ 相关的量子广义Kac-Moody代数的积分形式，并设 $K_0(R)$ 为有限生成投射分次 $R$-模的Grothendieck群。我们证明存在一个单的代数同态 $\Phi: U_\A^-(\g) \to K_0(R)$，并且如果对所有 $i\in I$ 有 $a_{ii}\ne 0$，则 $\Phi$ 是一个同构。设 $B(\infty)$ 和 $B(\lambda)$ 分别为 $U_q^-(\g)$ 和 $V(\lambda)$ 的晶体，其中 $V(\lambda)$ 是不可约最高权 $U_q(\g)$-模。我们用 $\mathfrak{B}(\infty)$ 和 $\mathfrak{B}(\lambda)$ 分别表示 $R$ 和 $R^\lambda$ 上不可约分次模的同构类。如果对所有 $i\in I$ 有 $a_{ii}\ne 0$，我们在 $\mathfrak{B}(\infty)$ 和 $\mathfrak{B}(\lambda)$ 上定义 $U_q(\g)$-晶体结构，并证明存在晶体同构 $\mathfrak{B}(\infty) \simeq B(\infty)$ 和 $\mathfrak{B}(\lambda) \simeq B(\lambda)$。我们方法的关键要素之一是广义Kac-Moody代数的完美基理论。