秩二 Artin-Schelter 正则代数与非交换导子

如果 $\Delta$ 和 $\Gamma$ 是交换代数 $A$ 的两个导子，且 $\Delta\Gamma-\Gamma\Delta=\Delta$ 是局部幂零的，则可以赋予 $A$ 一个新乘积 $\ast$，其过滤半经典极限为 Poisson 结构 $\Delta\wedge\Gamma$。在本文中，我们首先从代数角度研究这些 (Poisson) 代数，并在 $A$ 为多项式代数时研究其同调性质。特别地，当导子 $\Delta$ 和 $\Gamma$ 为线性时，代数 $(A,\ast)$ 在每个至少为四的维度上提供了多参数 Artin-Schelter 正则代数族的新例子。这些代数是秩为 2 的 Poisson 代数 $(A,\Delta\wedge\Gamma)$ 的形变，这解释了本文的标题。进一步假设 $\Gamma$ 满足一个技术条件，我们证明代数 $(A,\ast)$ 是 Calabi-Yau 的当且仅当 $\Gamma$ 的迹等于 1，当且仅当 Poisson 代数 $(A,\Delta\wedge\Gamma)$ 是幺模的。由于 $\Gamma$ 的迹是参数的线性函数，代数 $(A,\ast)$ 还在每个至少为四的维度上提供了多参数 Calabi-Yau 代数族的新例子。